Найдите значение выражения: 1. 12 \cdot 3^{\log_3 7}. 2. 9^{\log_3 7} 3. \log_{0,2} 625 4. \log_8 512 5. (\log_2 32) - (\log_4 64) 6. \log_6 90 - \log_6 2,5 7. \log_4 128 + \log_{0,05} 0,05 8. \log_{0,48} 25 - \log_{0,48} 12 9. \frac{\log_3 10}{\log_3 5} + \log_5 0,1 10. \log_2 3,2 + \log_2 10 11. \log_7 8 \cdot \log_8 49 12. \frac{9^{\log_6 108}}{9^{\log_6 3}} 13. (1 - \log_8 48)(1 - \log_8 48) 14. 64^{\log_4 \sqrt[4]{4}} 15. \log_{\sqrt[5]{10}} 10 16. \frac{\log_2 52}{2 + \log_2 13} 17. \frac{\log_5 64}{\log_5 4} 18. \log_{0,5} 5 \cdot \log_5 2 19. 3^{\log_9 16} 20. \log_{\sqrt{2}}^2 4 21. 7^{3\log_7 10} 22. 49^{\log_7 \sqrt{5}} 23. \log_{16} \log_3 9 24. 5^{\frac{6}{\log_5 6}} 25. \log_{\frac{1}{5}} \sqrt{5} 26. \frac{\log_5 8}{\log_{25} 8} 27. \frac{\log_9 \sqrt[5]{17}}{\log_9 17} 28. (7^{\log_7 3})^{\log_3 7}

12 \cdot 3^{\log_3 7} = 12 \cdot 7 = 84

Используем свойство $$a^{\log_a b} = b$$

9^{\log_3 7} = (3^2)^{\log_3 7} = 3^{2 \log_3 7} = 3^{\log_3 7^2} = 3^{\log_3 49} = 49

Используем свойства степеней и логарифмов.

\log_{0,2} 625 = \log_{\frac{1}{5}} 5^4 = \log_{5^{-1}} 5^4 = -4

Представляем 0,2 как 1/5 и 625 как 5 в степени 4, затем используем свойства логарифмов.

\log_8 512 = \log_8 8^3 = 3

512 представляем как 8 в степени 3.

(\log_2 32) - (\log_4 64) = \log_2 2^5 - \log_4 4^3 = 5 - 3 = 2

32 представляем как 2 в степени 5, а 64 как 4 в степени 3.

\log_6 90 - \log_6 2,5 = \log_6 \frac{90}{2,5} = \log_6 36 = \log_6 6^2 = 2

Используем свойство разности логарифмов и представляем 36 как 6 в квадрате.

\log_4 128 + \log_{0,05} 0,05 = \log_4 4^{\frac{7}{2}} + 1 = \frac{7}{2} + 1 = 3,5 + 1 = 4,5

128 представляем как 4 в степени 7/2, а логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен 1.

\log_{0,48} 25 - \log_{0,48} 12 = \log_{0,48} \frac{25}{12}

\frac{\log_3 10}{\log_3 5} + \log_5 0,1 = \log_5 10 + \log_5 \frac{1}{10} = \log_5 (10 \cdot \frac{1}{10}) = \log_5 1 = 0

Используем формулу перехода к другому основанию и свойства логарифмов.

\log_2 3,2 + \log_2 10 = \log_2 (3,2 \cdot 10) = \log_2 32 = \log_2 2^5 = 5

Используем свойство суммы логарифмов и представляем 32 как 2 в степени 5.

\log_7 8 \cdot \log_8 49 = \log_7 8 \cdot \log_8 7^2 = 2 \cdot \log_7 8 \cdot \log_8 7 = 2 \cdot \log_7 7 = 2

Используем свойства логарифмов и основное логарифмическое тождество.

\frac{9^{\log_6 108}}{9^{\log_6 3}} = 9^{\log_6 108 - \log_6 3} = 9^{\log_6 \frac{108}{3}} = 9^{\log_6 36} = 9^{\log_6 6^2} = 9^2 = 81

Используем свойства степеней и логарифмов.

(1 - \log_8 48)(1 - \log_8 48) = (1 - \log_8 48)^2 = (\log_8 8 - \log_8 48)^2 = (\log_8 \frac{8}{48})^2 = (\log_8 \frac{1}{6})^2 = (\log_8 6^{-1})^2 = (-\log_8 6)^2 = (\log_8 6)^2

64^{\log_4 \sqrt[4]{4}} = (4^3)^{\log_4 4^{\frac{1}{4}}} = 4^{3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \log_4 4} = 4^{\frac{3}{4}} = (2^2)^{\frac{3}{4}} = 2^{\frac{3}{2}} = 2 \sqrt{2}

Представляем 64 и корень из 4 как степени 4 и используем свойства степеней и логарифмов.

\log_{\sqrt[5]{10}} 10 = \log_{10^{\frac{1}{5}}} 10 = 5 \log_{10} 10 = 5

Представляем корень 5-й степени из 10 как 10 в степени 1/5 и используем свойства логарифмов.

\frac{\log_2 52}{2 + \log_2 13} = \frac{\log_2 (4 \cdot 13)}{2 + \log_2 13} = \frac{\log_2 4 + \log_2 13}{2 + \log_2 13} = \frac{2 + \log_2 13}{2 + \log_2 13} = 1

Используем свойство логарифма произведения.

\frac{\log_5 64}{\log_5 4} = \frac{\log_5 4^3}{\log_5 4} = \frac{3 \log_5 4}{\log_5 4} = 3

Представляем 64 как 4 в степени 3 и используем свойства логарифмов.

\log_{0,5} 5 \cdot \log_5 2 = \frac{\log_5 5}{\log_5 0,5} \cdot \log_5 2 = \frac{1}{\log_5 \frac{1}{2}} \cdot \log_5 2 = \frac{1}{-\log_5 2} \cdot \log_5 2 = -1

Используем формулу перехода к другому основанию и свойства логарифмов.

3^{\log_9 16} = 3^{\log_{3^2} 2^4} = 3^{\frac{4}{2} \log_3 2} = 3^{2 \log_3 2} = 3^{\log_3 2^2} = 3^{\log_3 4} = 4

Представляем 9 и 16 как степени 3 и 2 соответственно, затем используем свойства логарифмов.

\log_{\sqrt{2}}^2 4 = (\log_{\sqrt{2}} 4)^2 = (\log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^2)^2 = (4 \log_2 2)^2 = 4^2 = 16

Представляем корень из 2 и 4 как степени 2 и используем свойства логарифмов.

7^{3\log_7 10} = 7^{\log_7 10^3} = 7^{\log_7 1000} = 1000

Используем свойства логарифмов.

49^{\log_7 \sqrt{5}} = (7^2)^{\log_7 5^{\frac{1}{2}}} = 7^{2 \cdot \frac{1}{2} \log_7 5} = 7^{\log_7 5} = 5

Представляем 49 и корень из 5 как степени 7 и 5 соответственно, затем используем свойства логарифмов.

\log_{16} \log_3 9 = \log_{16} \log_3 3^2 = \log_{16} 2 = \log_{2^4} 2 = \frac{1}{4}

Представляем 16 и 9 как степени 2 и 3 соответственно, затем используем свойства логарифмов.

5^{\frac{6}{\log_5 6}} = 5^{6 \log_6 5} = (5^{\log_6 5})^6

\log_{\frac{1}{5}} \sqrt{5} = \log_{5^{-1}} 5^{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}

Представляем 1/5 и корень из 5 как степени 5, затем используем свойства логарифмов.

\frac{\log_5 8}{\log_{25} 8} = \frac{\log_5 8}{\log_{5^2} 8} = \frac{\log_5 8}{\frac{1}{2} \log_5 8} = 2

Представляем 25 как 5 в квадрате и используем свойства логарифмов.

\frac{\log_9 \sqrt[5]{17}}{\log_9 17} = \frac{\log_9 17^{\frac{1}{5}}}{\log_9 17} = \frac{\frac{1}{5} \log_9 17}{\log_9 17} = \frac{1}{5}

Представляем корень 5-й степени из 17 как 17 в степени 1/5 и используем свойства логарифмов.

(7^{\log_7 3})^{\log_3 7} = 3^{\log_3 7} = 7

Используем основное логарифмическое тождество.