Найдите значение выражения √300 cos² (19π/12) - √75.

Упростим выражение $$ \sqrt{300 \cos^2 \frac{19\pi}{12}} - \sqrt{75} $$

Сначала упростим $$ \sqrt{300 \cos^2 \frac{19\pi}{12}} $$ и $$ \sqrt{75} $$ по отдельности.

$$ \sqrt{300 \cos^2 \frac{19\pi}{12}} = \sqrt{300} \cdot \sqrt{\cos^2 \frac{19\pi}{12}} = \sqrt{100 \cdot 3} \cdot |\cos \frac{19\pi}{12}| = 10\sqrt{3} |\cos \frac{19\pi}{12}| $$

Теперь рассмотрим $$ \frac{19\pi}{12} $$. Это угол в четвертой четверти, где косинус положителен. $$ \frac{19\pi}{12} = \frac{19 \cdot 180}{12} = \frac{19 \cdot 3 \cdot 60}{12} = 19 \cdot 15 = 285^{\circ} $$ $$ \frac{19\pi}{12} = \frac{16\pi + 3\pi}{12} = \frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{4} $$ $$ \cos \frac{19\pi}{12} = \cos (\frac{4\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{4\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{4\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4} $$ $$ \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} $$, $$ \sin \frac{4\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$ $$ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$, $$ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ $$ \cos \frac{19\pi}{12} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $$

$$ |\cos \frac{19\pi}{12}| = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $$

$$ \sqrt{300 \cos^2 \frac{19\pi}{12}} = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{10\sqrt{18} - 10\sqrt{6}}{4} = \frac{10 \cdot 3\sqrt{2} - 10\sqrt{6}}{4} = \frac{30\sqrt{2} - 10\sqrt{6}}{4} = \frac{15\sqrt{2} - 5\sqrt{6}}{2} $$

Теперь упростим $$ \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} $$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$$ \sqrt{300 \cos^2 \frac{19\pi}{12}} - \sqrt{75} = \frac{15\sqrt{2} - 5\sqrt{6}}{2} - 5\sqrt{3} = \frac{15\sqrt{2} - 5\sqrt{6} - 10\sqrt{3}}{2} $$

Ответ: $$\frac{15\sqrt{2} - 5\sqrt{6} - 10\sqrt{3}}{2}$$