8. Найдите значение выражения:$$\frac{24^7}{8^6 \cdot 3^6}$$

Для решения этого задания нам нужно упростить выражение, используя свойства степеней.

Сначала разложим числа в основании степеней на простые множители:

• $$24 = 2^3 \cdot 3$$
• $$8 = 2^3$$
• $$3 = 3$$

Теперь перепишем выражение, используя эти разложения:

$$ \frac{24^7}{8^6 \cdot 3^6} = \frac{(2^3 \cdot 3)^7}{(2^3)^6 \cdot 3^6} $$

Применим свойство степеней $$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$ в числителе и $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ в знаменателе:

$$ \frac{(2^3 \cdot 3)^7}{(2^3)^6 \cdot 3^6} = \frac{2^{3\cdot 7} \cdot 3^7}{2^{3 \cdot 6} \cdot 3^6} = \frac{2^{21} \cdot 3^7}{2^{18} \cdot 3^6} $$

Теперь применим свойство степеней $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$:

$$ \frac{2^{21} \cdot 3^7}{2^{18} \cdot 3^6} = 2^{21-18} \cdot 3^{7-6} = 2^3 \cdot 3^1 $$

Вычислим значения степеней:

$$ 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24 $$

Ответ: 24