Решение

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать теорему Виета и некоторые преобразования.

Имеем квадратное уравнение:

x² - (a - 2) * x - (a + 3) = 0

По теореме Виета:

• x₁ + x₂ = a - 2
• x₁ * x₂ = -(a + 3)

Нам дано условие:

x₁² + x₂² = 9

Преобразуем это выражение, используя известные нам соотношения:

(x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂²

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

Подставим значения из теоремы Виета:

9 = (a - 2)² - 2*(-(a + 3))

9 = a² - 4a + 4 + 2a + 6

9 = a² - 2a + 10

0 = a² - 2a + 1

Получили квадратное уравнение относительно a:

a² - 2a + 1 = 0

Это полный квадрат:

(a - 1)² = 0

Отсюда:

a = 1

Теперь проверим, существуют ли корни при a = 1:

x² - (1 - 2) * x - (1 + 3) = 0

x² + x - 4 = 0

Дискриминант: D = 1² - 4 * 1 * (-4) = 1 + 16 = 17 > 0, значит, корни существуют.

Ответ: a = 1