Найдите все углы параллелограмма, если а) один из углов равен 60°; б) один из углов меньше другого на 20°; в) один из углов больше другого в 2 раза.

Решение:

а) Рассмотрим параллелограмм MNPT. По определению параллелограмма MT || NP и MN || PT.

Следовательно, $$∠M + ∠N = 180°$$. Пусть $$∠M = 60°$$, тогда $$∠N = 180° - 60° = 120°$$.

По свойству углов параллелограмма получаем: $$∠P = ∠M = 60°$$ и $$∠T = ∠N = 120°$$.

б) Пусть четырёхугольник MNPT параллелограмм. Тогда $$∠M + ∠N = 180°$$. Будем считать, что $$∠M < ∠N$$. Тогда по условию $$∠M = ∠N - 20°$$ и $$(∠N - 20) + ∠N = 180°$$. Значит, $$∠N = 100°$$ и $$∠M = 80°$$.

По свойству углов параллелограмма получаем: $$∠P = ∠M = 80°$$ и $$∠T = ∠N = 100°$$.

в) Пусть в параллелограмме MNPT $$∠M < ∠N$$, тогда по условию $$∠N = 2∠M$$.

По доказанному выше $$∠M + ∠N = 180°$$, значит, $$∠M + 2∠M = 180°$$, откуда $$3∠M = 180°$$, следовательно, $$∠M = 60°$$, $$∠N = 120°$$.

Следовательно, $$∠P = ∠M = 60°$$ и $$∠T = ∠N = 120°$$.

Ответ:

а) 60°, 120°, 60°, 120°; б) 80°, 100°, 80°, 100°; в) 60°, 120°, 60°, 120°.