15. Найдите все решения уравнения cos2x + sinx = cos²x, принадлежащие отрезку [0; 2π].

Решение: 1. Преобразуем уравнение, используя тригонометрические формулы: $$cos2x + sinx = cos^2x$$ $$cos^2x - sin^2x + sinx = cos^2x$$ $$-sin^2x + sinx = 0$$ $$sinx(1 - sinx) = 0$$ 2. Решим полученное уравнение: * $$sinx = 0$$ => $$x = \pi n, n \in Z$$. На отрезке $$[0; 2\pi]$$ решения: $$x = 0, x = \pi, x = 2\pi$$. * $$1 - sinx = 0$$ => $$sinx = 1$$ => $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$$. На отрезке $$[0; 2\pi]$$ решение: $$x = \frac{\pi}{2}$$. Ответ: $$0, \frac{\pi}{2}, \pi, 2\pi$$