8) Найдите угол x, если NK и NP - радиусы окружности с центром в точке N.

Рассмотрим треугольник NKP. Так как NK и NP - радиусы одной окружности, то NK = NP. Следовательно, треугольник NKP - равнобедренный с основанием KP.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠NKP = ∠NPK.

∠NKP и ∠NLP - смежные углы. Сумма смежных углов равна 180°. Если ∠NLP = x, то ∠NKP = 180° - x.

По условию, ∠NKP = ∠NPK. Также ∠NLP = ∠NLK (обозначим как x). Cледовательно, углы ∠NLK = ∠NLP.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Найдем ∠KNPL:

∠KNPL = ∠KNL

∠NKP = ∠NPK, NP = NK, ∠KNPL = 180° - 2x

Сумма углов треугольника KNL равна 180°

180° - 2x + x + x = 180°

180° = 90° = NK перпендикулярна KL, как радиус и касательная в точке касания K. Следовательно, треугольник NKL — прямоугольный, и ∠NKL = 90°.

В треугольнике NKL: ∠KLN + ∠LNK = 90° (т.к. сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°).

Пусть ∠KLN = x. Тогда ∠LNK = 90° - x.

∠PNK = ∠PNL + ∠LNK, ∠PNK = 90° - x

В треугольнике KNP:

∠KNP + ∠NKP + ∠NPK = 180°, где ∠NKP = ∠NPK.

(90° - x) + (90° - x) + (90° - x) = 180°

2(90° - x) + (90° -x) = 180°

180° -2x + 90-x = 180°

270° - 3x = 180°

3x = 270° - 180°

3x = 90°

x = 30°

Ответ: 30°