4. Найдите угол между векторами а (2; 1; 1) и b (−1; −1; 0)

Ответ: \(\frac{2\pi}{3}\) или 120°

Решение:

Найдем скалярное произведение векторов a и b:

a ⋅ b = 2 ⋅ (-1) + 1 ⋅ (-1) + 1 ⋅ 0 = -2 - 1 + 0 = -3

Найдем длины векторов a и b:

\[|a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}\]

\[|b| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}\]

Угол \(\theta\) между векторами a и b можно найти по формуле:

\[cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|} = \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-3}{\sqrt{12}} = \frac{-3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[\theta = arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}\]

Ответ: \(\frac{5\pi}{6}\)