Найдите угол ∠D, если BD и CD — биссектрисы внешних углов ДАВС.

Решение:

BD — биссектриса внешнего угла при вершине B, CD — биссектриса внешнего угла при вершине C.

Пусть \( \angle BAC = \alpha \), \( \angle ABC = \beta \), \( \angle BCA = \gamma \).

Внешний угол при вершине B равен \( 180^\circ - \beta \).

\( \angle CBD = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2} \).

Внешний угол при вершине C равен \( 180^\circ - \gamma \).

\( \angle BCD = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2} \).

В треугольнике BCD:

• \( \angle BDC = 180^\circ - (\angle CBD + \angle BCD) \)
• \( \angle BDC = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\beta}{2} + 90^\circ - \frac{\gamma}{2}) \)
• \( \angle BDC = 180^\circ - (180^\circ - \frac{\beta + \gamma}{2}) \)
• \( \angle BDC = \frac{\beta + \gamma}{2} \)

В треугольнике ABC:

• \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \)
• \( \beta + \gamma = 180^\circ - \alpha \)

Подставим это в формулу для \( \angle BDC \):

• \( \angle BDC = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \)

На рисунке 6, \( \angle BOC = 138^\circ \). Если O — центр вписанной окружности, то \( \angle BOC = 90^\circ + \frac{\angle A}{2} \).

• \( 138^\circ = 90^\circ + \frac{\angle A}{2} \)
• \( \frac{\angle A}{2} = 138^\circ - 90^\circ = 48^\circ \)
• \( \angle A = 96^\circ \)

Рисунок 6 — это задача №6, которая не соответствует условию задачи №9. Рисунок 9 показывает \( \angle BAC = 46^\circ \). Если \( \angle BAC = 46^\circ \), тогда \( \angle BDC = 90^\circ - \frac{46^\circ}{2} = 90^\circ - 23^\circ = 67^\circ \).

Ответ: \( \angle BDC = 67^\circ \).