Найдите углы ДАВС, если AD и CD — биссектрисы его внешних углов.

Решение:

AD — биссектриса внешнего угла при вершине A, CD — биссектриса внешнего угла при вершине C.

Пусть \( \angle BAC = \alpha \), \( \angle ABC = \beta \), \( \angle BCA = \gamma \).

Внешний угол при вершине A равен \( 180^\circ - \alpha \).

\( \angle CAD = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \).

Внешний угол при вершине C равен \( 180^\circ - \gamma \).

\( \angle ACD = \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\gamma}{2} \).

В треугольнике ADC:

• \( \angle ADC = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) \)
• \( \angle ADC = 180^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2} + 90^\circ - \frac{\gamma}{2}) \)
• \( \angle ADC = 180^\circ - (180^\circ - \frac{\alpha + \gamma}{2}) \)
• \( \angle ADC = \frac{\alpha + \gamma}{2} \)

В треугольнике ABC:

• \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \)
• \( \alpha + \gamma = 180^\circ - \beta \)

Подставим это в формулу для \( \angle ADC \):

• \( \angle ADC = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2} \)

В задании 5, \( \angle BOC = 117^\circ \). Если O — центр вписанной окружности, то \( \angle BOC = 90^\circ + \frac{\angle A}{2} \).

• \( 117^\circ = 90^\circ + \frac{\angle A}{2} \)
• \( \frac{\angle A}{2} = 117^\circ - 90^\circ = 27^\circ \)
• \( \angle A = 54^\circ \)

Рисунок 5 является заданием №5, а задание №5 гласит: "Найдите углы ДАВС, если AD и CD — биссектрисы его внешних углов." Угол \( 117^\circ \) на рисунке 5 относится к \( \angle BOC \), что предполагает, что O — центр вписанной окружности, а не точка пересечения биссектрис внешних углов.

Если исходить из рисунка 5, где \( \angle BOC = 117^\circ \) (O - центр вписанной окружности), то \( \angle A = 2(117^\circ - 90^\circ) = 2(27^\circ) = 54^\circ \). Угол \( \angle BAC = 54^\circ \).

В задании 5, \( \angle BAC = 54^\circ \). Так как треугольник прямоугольный (\( \angle C = 90^\circ \)), то \( \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ \).

Если \( \angle ABC = 36^\circ \), то \( \angle ADC = 90^\circ - \frac{36^\circ}{2} = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ \).

Ответ: \( \angle ADC = 72^\circ \).