Найдите углы равнобедренного треугольника, если один их его углов в 4 раза меньше другого угла. Рассмотрите все возможные случаи.

Пусть один из углов равен $$x$$, тогда другой угол равен $$4x$$. Рассмотрим все возможные случаи:

1. Пусть угол $$x$$ - это угол при основании равнобедренного треугольника, тогда второй угол при основании тоже равен $$x$$. Угол при вершине равен $$4x$$. Сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$. Составим и решим уравнение:

   $$x + x + 4x = 180$$

   $$6x = 180$$

   $$x = 30$$

   Тогда углы треугольника будут равны: $$30^{\circ}$$, $$30^{\circ}$$, $$120^{\circ}$$.

2. Пусть угол $$4x$$ - это угол при основании равнобедренного треугольника, тогда второй угол при основании тоже равен $$4x$$. Угол при вершине равен $$x$$. Сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$. Составим и решим уравнение:

   $$4x + 4x + x = 180$$

   $$9x = 180$$

   $$x = 20$$

   Тогда углы треугольника будут равны: $$80^{\circ}$$, $$80^{\circ}$$, $$20^{\circ}$$.

3. Пусть угол $$x$$ - это угол при вершине равнобедренного треугольника, тогда углы при основании равны $$4x$$. Сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$. Составим и решим уравнение:

   $$x + 4x + 4x = 180$$

   $$9x = 180$$

   $$x = 20$$

   Тогда углы треугольника будут равны: $$20^{\circ}$$, $$80^{\circ}$$, $$80^{\circ}$$. (Этот случай совпадает со вторым случаем).

4. Пусть угол $$4x$$ - это угол при вершине равнобедренного треугольника, тогда углы при основании равны $$x$$. Сумма углов треугольника равна $$180^{\circ}$$. Составим и решим уравнение:

   $$4x + x + x = 180$$

   $$6x = 180$$

   $$x = 30$$

   Тогда углы треугольника будут равны: $$120^{\circ}$$, $$30^{\circ}$$, $$30^{\circ}$$. (Этот случай совпадает с первым случаем).

Ответ: Возможные углы равнобедренного треугольника: $$30^{\circ}$$, $$30^{\circ}$$, $$120^{\circ}$$ или $$80^{\circ}$$, $$80^{\circ}$$, $$20^{\circ}$$.