Решение

Дано: △PTS, RO⊥PS, PR = RS, ∠TSR : ∠RSP = 3:5, ∠RTS = 115°

Найти: ∠P, ∠TSP

Решение:

1. Так как RO⊥PS и PR = RS, то TO - биссектриса угла ∠RTS, а значит, ∠RTO = ∠OTS = 115°/2 = 57.5°.
2. Рассмотрим △RTS: ∠TSR + ∠RTS + ∠T = 180°, следовательно, ∠TSR = 180° - 90° - 57.5° = 32.5°.
3. Пусть ∠TSR = 3x, а ∠RSP = 5x. Тогда 3x = 32.5°, отсюда x = 32.5°/3 ≈ 10.83°.
4. Значит, ∠RSP = 5x = 5 * 10.83° ≈ 54.15°.
5. △PRS - равнобедренный (PR = RS), следовательно, ∠P = ∠PSR = 54.15°.
6. ∠TSP = ∠TSR + ∠RSP = 32.5° + 54.15° = 86.65°.

Ответ: ∠P ≈ 54.15°, ∠TSP ≈ 86.65°.