Решение системы уравнений

Рассмотрим систему уравнений:

$$\begin{cases} 3^x - 5^y = 22 \\ 3^x \cdot 5^y = 135 \end{cases}$$

Пусть $$3^x = a$$ и $$5^y = b$$. Тогда система уравнений примет вид:

$$\begin{cases} a - b = 22 \\ a \cdot b = 135 \end{cases}$$

Выразим $$a$$ из первого уравнения: $$a = b + 22$$. Подставим это во второе уравнение:

$$(b + 22) \cdot b = 135$$ $$b^2 + 22b - 135 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$b$$. Дискриминант равен:

$$D = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-135) = 484 + 540 = 1024$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$$

Тогда корни:

$$b_1 = \frac{-22 + 32}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$b_2 = \frac{-22 - 32}{2} = \frac{-54}{2} = -27$$

Так как $$5^y = b > 0$$, то $$b = 5$$. Тогда $$5^y = 5$$, откуда $$y = 1$$.

Теперь найдем $$a$$: $$a = b + 22 = 5 + 22 = 27$$. Тогда $$3^x = 27$$, откуда $$3^x = 3^3$$, значит $$x = 3$$.

Сумма $$x + y = 3 + 1 = 4$$.

Ответ: 4