Решение системы уравнений

Нам дана система уравнений:

$$\begin{cases} 3^x - 5^y = 22 \\ 3^x \cdot 5^y = 135 \end{cases}$$

Введем переменные для упрощения записи:

Пусть $$a = 3^x$$ и $$b = 5^y$$. Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} a - b = 22 \\ a \cdot b = 135 \end{cases}$$

Выразим $$a$$ из первого уравнения: $$a = b + 22$$. Подставим это во второе уравнение:

$$(b + 22) \cdot b = 135$$ $$b^2 + 22b - 135 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$b$$. Найдем дискриминант:

$$D = 22^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-135) = 484 + 540 = 1024$$

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:

$$b_1 = \frac{-22 + \sqrt{1024}}{2} = \frac{-22 + 32}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$b_2 = \frac{-22 - \sqrt{1024}}{2} = \frac{-22 - 32}{2} = \frac{-54}{2} = -27$$

Так как $$b = 5^y$$, то $$b$$ должно быть положительным, поэтому $$b = 5$$ (второй корень не подходит).

Теперь найдем $$a$$:

$$a = b + 22 = 5 + 22 = 27$$

Вспомним, что $$a = 3^x$$ и $$b = 5^y$$. Тогда:

$$3^x = 27 \Rightarrow x = 3$$ $$5^y = 5 \Rightarrow y = 1$$

Найдем сумму $$x + y$$:

$$x + y = 3 + 1 = 4$$

Ответ: $$x + y = 4$$