Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (хn), первый член которой равен 8, а знаменатель равен 1/2

Ответ: S₆ = 15.75

Решение:

Шаг 1: Запишем формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\]

Шаг 2: Подставим известные значения: b₁ = 8, q = 1/2, n = 6

\[S_6 = \frac{8(1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}}\]

Шаг 3: Вычислим (1/2)⁶:

\[(\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}\]

Шаг 4: Подставим это значение в формулу:

\[S_6 = \frac{8(1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}}\]

Шаг 5: Упростим выражение в скобках:

\[1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}\]

Шаг 6: Подставим это значение обратно в формулу:

\[S_6 = \frac{8 \cdot \frac{63}{64}}{\frac{1}{2}}\]

Шаг 7: Разделим на 1/2, что эквивалентно умножению на 2:

\[S_6 = 8 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2\]

Шаг 8: Упростим:

\[S_6 = \frac{8 \cdot 63 \cdot 2}{64} = \frac{1008}{64} = 15.75\]

Ответ: S₆ = 15.75