5. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии ($$a_n$$), если: a) $$a_1 = 6, a_{11} = 46$$; б) $$a_6 = 12, a_{16} = 100$$.

a) Для нахождения суммы первых 12 членов арифметической прогрессии нам нужно знать $$a_1$$ и $$a_{12}$$. Известно $$a_1 = 6$$ и $$a_{11} = 46$$. Найдем разность $$d$$: $$a_{11} = a_1 + 10d$$, $$46 = 6 + 10d$$, $$40 = 10d$$, $$d = 4$$. Теперь найдем $$a_{12} = a_1 + 11d = 6 + 11 \cdot 4 = 6 + 44 = 50$$. Сумма $$S_{12} = \frac{12(a_1 + a_{12})}{2} = \frac{12(6 + 50)}{2} = 6 \cdot 56 = 336$$. б) Дано $$a_6 = 12, a_{16} = 100$$. Тогда $$a_{16} = a_6 + 10d$$, $$100 = 12 + 10d$$, $$88 = 10d$$, $$d = 8.8$$. Найдем $$a_1 = a_6 - 5d = 12 - 5 \cdot 8.8 = 12 - 44 = -32$$. $$a_{12} = a_1 + 11d = -32 + 11 \cdot 8.8 = -32 + 96.8 = 64.8$$. Сумма $$S_{12} = \frac{12(a_1 + a_{12})}{2} = \frac{12(-32 + 64.8)}{2} = 6 \cdot 32.8 = 196.8$$. Ответ: a) 336, б) 196.8.