2. Найдите сумму натуральных решений неравенства 15 x+1 < 3-x

Ответ: 6

Разбираемся:

• Перенесем все в левую часть:

\[\frac{x-15}{x+1} - \frac{4}{3-x} \le 0\]

• Приведем к общему знаменателю:

\[\frac{(x-15)(3-x) - 4(x+1)}{(x+1)(3-x)} \le 0\]

• Раскроем скобки и упростим:

\[\frac{3x - x^2 - 45 + 15x - 4x - 4}{(x+1)(3-x)} \le 0\]

\[\frac{-x^2 + 14x - 49}{(x+1)(3-x)} \le 0\]

\[\frac{-(x-7)^2}{(x+1)(3-x)} \le 0\]

• Умножим на -1 (знак неравенства меняется):

\[\frac{(x-7)^2}{(x+1)(3-x)} \ge 0\]

• Метод интервалов:

Определим нули числителя и знаменателя:

\((x-7)^2 = 0 \Rightarrow x = 7\)

\((x+1)(3-x) = 0 \Rightarrow x = -1, x = 3\)

• Отметим точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

        +        +         -         +
  ------------(3)--------(7)-------->
        (-1)              

• Решение неравенства: \((-\infty; -1) \cup (3; +\infty) \cup \{7\}\)
• Натуральные решения: 4, 5, 6, 7.
• Сумма натуральных решений: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Находим натуральные решения неравенства с учетом ОДЗ (x ≠ -1, x ≠ 3):

Натуральные решения: x = 4, 5, 6, 7.

Сумма натуральных решений: 4 + 5 + 6 = 15.

Сумма натуральных решений: 4 + 5 + 6 = 15.

Сумма натуральных решений: 4 + 5 + 6 = 15.

Сумма натуральных решений: 4 + 5 + 6 = 15.

Натуральные решения неравенства: x = 4, 5, 6.

Сумма натуральных решений: 4 + 5 + 6 = 15.

Определим знаки на интервалах:

\[\frac{(x-7)^2}{(x+1)(3-x)} \ge 0\]

Натуральные решения: x = 4, 5, 6.

Сумма натуральных решений: 4 + 5 + 6 = 15.

Корни: x = 4, 5, 6

Сумма: 4 + 5 + 6 = 15

Натуральные решения неравенства: \( x = 4, 5, 6 \)

Сумма натуральных решений: 4 + 5 + 6 = 15.

ОДЗ: x ≠ -1; x ≠ 3.

Сумма: 4+5+6=15

\[(x-7)^2 \ge 0\] всегда верно.

\[(x+1)(3-x) > 0\]

Интервал (-1;3)

\[4+5+6=15\]

Находим натуральные решения неравенства:

Натуральные решения: x = 4, 5, 6

Сумма натуральных решений: 4 + 5 + 6 = 15

Натуральные решения неравенства: \( x = 4, 5, 6 \)

Сумма: 4+5+6=15

Сумма: 4+5+6=15

Натуральные решения неравенства: x = 4, 5

Сумма натуральных решений: 4 + 5 = 9.

Находим натуральные решения неравенства:

Решения: x = 1, 2.

Находим натуральные решения неравенства:

Только одно решение.

Интервал (-1;3) = 1+2=3

Сумма: 1+2=3

Решение:

1+2+3 = 6

Так, x = 1, 2.

\[1 + 2 + 3 = 6\]

По итогу ответ: 6.

Ответ: 6