13. Найдите сторону x в треугольнике ABC, если угол C равен 60°, сторона BC равна 20, а угол A равен 45°.

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

В нашем случае:

• a = BC = 20
• A = 45°
• c = AB = x (неизвестная сторона)
• C = 60°

Угол B можно найти, зная, что сумма углов треугольника равна 180°:

$$B = 180° - A - C = 180° - 45° - 60° = 75°$$

Теперь мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти x:

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$$

$$\frac{20}{\sin 45°} = \frac{x}{\sin 60°}$$

Теперь выразим x:

$$x = \frac{20 \cdot \sin 60°}{\sin 45°}$$

Значения синусов:

• $$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
• $$\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Подставим значения синусов в формулу для x:

$$x = \frac{20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{20 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{20 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{6}$$

Таким образом,

$$x = 10\sqrt{6}$$

Ответ: $$10\sqrt{6}$$