697 Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) BC = 8, AB=17; б) ВС = 21, АС = 20; в) ВС = 1, АС = 2; г) АС = 24, AB = 25.

Краткое пояснение

a) BC = 8, AB = 17

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C:

• AB - гипотенуза
• BC - катет, прилежащий к углу B и противолежащий углу A
• AC - катет, прилежащий к углу A и противолежащий углу B

Найдем AC по теореме Пифагора: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\]

Теперь найдем синус, косинус и тангенс углов A и B:

• \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17} \approx 0.47\]
• \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17} \approx 0.88\]
• \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15} \approx 0.53\]
• \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17} \approx 0.88\]
• \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17} \approx 0.47\]
• \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8} = 1.875\]

б) BC = 21, AC = 20

Найдем AB по теореме Пифагора: \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29\]

Теперь найдем синус, косинус и тангенс углов A и B:

• \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29} \approx 0.72\]
• \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29} \approx 0.69\]
• \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{21}{20} = 1.05\]
• \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29} \approx 0.69\]
• \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29} \approx 0.72\]
• \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21} \approx 0.95\]

в) BC = 1, AC = 2

Найдем AB по теореме Пифагора: \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.24\]

Теперь найдем синус, косинус и тангенс углов A и B:

• \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.45\]
• \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0.89\]
• \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2} = 0.5\]
• \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0.89\]
• \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0.45\]
• \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2\]

г) AC = 24, AB = 25

Найдем BC по теореме Пифагора: \[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7\]

Теперь найдем синус, косинус и тангенс углов A и B:

• \[\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} = 0.28\]
• \[\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25} = 0.96\]
• \[\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24} \approx 0.29\]
• \[\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25} = 0.96\]
• \[\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} = 0.28\]
• \[\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7} \approx 3.43\]

Проверка за 10 секунд: Убедись, что значения синуса и косинуса всегда меньше 1, а также проверь правильность применения теоремы Пифагора и определений тригонометрических функций.

Доп. профит: База: Синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус – отношению прилежащего катета к гипотенузе, а тангенс – отношению противолежащего катета к прилежащему.