Решение задания 699

1. a) sin α и tg α, если cos α = $$\frac{1}{2}$$:

   Мы знаем, что $$\sin^2 α + \cos^2 α = 1$$. Следовательно,

   $$\sin^2 α = 1 - \cos^2 α = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

   $$\sin α = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Тангенс угла α равен отношению синуса к косинусу:

   $$\operatorname{tg} α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3}$$

   Ответ: $$\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$\operatorname{tg} α = \sqrt{3}$$.

2. б) sin α и tg α, если cos α = $$\frac{2}{3}$$:

   Мы знаем, что $$\sin^2 α + \cos^2 α = 1$$. Следовательно,

   $$\sin^2 α = 1 - \cos^2 α = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$$

   $$\sin α = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$

   Тангенс угла α равен отношению синуса к косинусу:

   $$\operatorname{tg} α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$

   Ответ: $$\sin α = \frac{\sqrt{5}}{3}$$, $$\operatorname{tg} α = \frac{\sqrt{5}}{2}$$.

3. в) cos α и tg α, если sin α = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$:

   Мы знаем, что $$\sin^2 α + \cos^2 α = 1$$. Следовательно,

   $$\cos^2 α = 1 - \sin^2 α = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$$

   $$\cos α = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$$

   Тангенс угла α равен отношению синуса к косинусу:

   $$\operatorname{tg} α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3}$$

   Ответ: $$\cos α = \frac{1}{2}$$, $$\operatorname{tg} α = \sqrt{3}$$.

4. г) cos α и tg α, если sin α = $$\frac{1}{4}$$:

   Мы знаем, что $$\sin^2 α + \cos^2 α = 1$$. Следовательно,

   $$\cos^2 α = 1 - \sin^2 α = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$

   $$\cos α = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$$

   Тангенс угла α равен отношению синуса к косинусу:

   $$\operatorname{tg} α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$$

   Ответ: $$\cos α = \frac{\sqrt{15}}{4}$$, $$\operatorname{tg} α = \frac{\sqrt{15}}{15}$$.