Найдите шестой член убывающей геометрической прогрессии, если пятый её член равен 27, а седьмой равен 3.

Пусть $$b_n$$ - члены геометрической прогрессии. По условию, $$b_5 = 27$$ и $$b_7 = 3$$.

Формула для членов геометрической прогрессии: $$b_n = b_k \cdot q^{n-k}$$.

Используем $$b_7 = b_5 \cdot q^{7-5}$$: $$3 = 27 \cdot q^2$$, откуда $$q^2 = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$$. Так как прогрессия убывающая, $$q = -\frac{1}{3}$$ (или $$q = \frac{1}{3}$$, но тогда $$b_6$$ будет больше $$b_5$$, что противоречит условию убывания).

Найдем шестой член: $$b_6 = b_5 \cdot q = 27 \cdot (-\frac{1}{3}) = -9$$.