10. Найдите, при каких значениях числа а система уравнений \[\begin{cases} x^2+y^2=4, \\ x+y=a \end{cases}\] имеет два решения.

Система уравнений: \[\begin{cases} x^2+y^2=4, \\ x+y=a \end{cases}\] Первое уравнение - окружность с центром в начале координат и радиусом 2. Второе уравнение - прямая. Чтобы система имела два решения, прямая должна касаться окружности. Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу. Формула расстояния от точки \((x_0, y_0)\) до прямой \(Ax+By+C=0\): \(d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} В нашем случае: \(x+y-a=0\) => \(A=1, B=1, C=-a\) \((x_0, y_0) = (0, 0)\) \(d = \frac{|1\cdot 0+1\cdot 0-a|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}} Радиус окружности \(R=2\) \(\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 2\) \(|a| = 2\sqrt{2}\) \(a = \pm 2\sqrt{2}\)