Найдите PQ.

На рисунке изображен треугольник PQS, в котором угол S прямой, PS = 7. Также внутри треугольника PQS находится точка R, причем углы PRQ = 120°, а также PR = RQ. Нужно найти сторону PQ. 1. Рассмотрим треугольник PRQ. Так как PR = RQ, то треугольник PRQ равнобедренный. Угол PRQ равен 120°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим угол RPQ и угол RQP как $$x$$. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно: $$x + x + 120° = 180°$$ $$2x = 180° - 120°$$ $$2x = 60°$$ $$x = 30°$$ Значит, углы RPQ и RQP равны 30°. 2. Рассмотрим треугольник PSR. Угол PSR равен 90°. Следовательно, треугольник PSR прямоугольный. Угол RPS = угол RPQ = 30°. Тогда угол PRS = 90° - 30° = 60°. 3. Найдем угол RSQ. Угол PSQ = 90° (из условия). Угол RQP = 30° (мы нашли ранее). Следовательно, угол RSQ = 90° - угол RQP = 90° - 30° = 60°. 4. Рассмотрим треугольник RSQ. Угол RSQ = 60°. Угол RQS = 30°. Тогда угол SRQ = 180° - 60° - 30° = 90°. Значит, треугольник RSQ прямоугольный, с углом SRQ = 90°. 5. Найдем длину стороны PR и RQ. В прямоугольном треугольнике PSR, PR - гипотенуза. Угол RPS = 30°, PS = 7. Используем синус угла RPS: $$\sin(30°) = \frac{RS}{PR}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{RS}{PR}$$ $$PR = 2RS$$ Используем тангенс угла RPS: $$\tan(30°) = \frac{RS}{PS}$$ $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{RS}{7}$$ $$RS = \frac{7}{\sqrt{3}}$$ Тогда: $$PR = 2RS = 2 \cdot \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}}$$ Поскольку PR = RQ, то RQ = $$\frac{14}{\sqrt{3}}$$. 6. Найдем длину стороны SQ. В прямоугольном треугольнике RSQ, RQ - гипотенуза. Угол RQS = 30°. Используем косинус угла RQS: $$\cos(30°) = \frac{SQ}{RQ}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{SQ}{\frac{14}{\sqrt{3}}}$$ $$SQ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{14}{\sqrt{3}} = 7$$ 7. Найдем длину стороны PQ. $$PQ = PS + SQ = 7 + 7 = 14$$ Ответ: 14