578 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если: а) АВ = 21 см, CD = 17 см, высота ВН равна 7 см; б) ∠D = 30°, АВ = 2 см, CD = 10 см, DA = 8 см; в) ВСІ АВ, АВ = 5 см, ВС = 8 см, CD = 13 см.

а) Дано: трапеция ABCD, AB = 21 см, CD = 17 см, BH = 7 см. Найти: S - ? Решение: Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $$S = \frac{AB+CD}{2} \cdot BH$$. $$S = \frac{21+17}{2} \cdot 7 = 19 \cdot 7 = 133 \text{ см}^2$$.

б) Дано: трапеция ABCD, ∠D = 30°, AB = 2 см, CD = 10 см, DA = 8 см. Найти: S - ? Решение: Проведем высоту AH к стороне CD. Рассмотрим треугольник AHD. В нем ∠AHD = 90°, ∠ADH = 30°, AD = 8 см. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, следовательно AH = 4 см. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $$S = \frac{AB+CD}{2} \cdot AH$$. $$S = \frac{2+10}{2} \cdot 4 = 6 \cdot 4 = 24 \text{ см}^2$$.

в) Дано: трапеция ABCD, BC ⊥ AB, AB = 5 см, BC = 8 см, CD = 13 см. Найти: S - ? Решение: Проведем высоту CH к стороне AD. Рассмотрим четырехугольник ABCH. В нем ∠ABC = 90°, ∠BCH = 90°, следовательно ABCН - прямоугольник, тогда BC = AH = 8 см, AB = CH = 5 см. Тогда HD = AD - AH = 13 - 8 = 5 см. Рассмотрим треугольник CHD. В нем CH = 5 см, HD = 5 см, следовательно треугольник CHD - равнобедренный, тогда AD = √(CH² + HD²) = √(25 + 25) = √50 = 5√2 см. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту: $$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot CH$$. $$S = \frac{5 \sqrt{2} + 8}{2} \cdot 5 = \frac{25 \sqrt{2} + 40}{2} \text{ см}^2$$.

Ответ: а) $$133 \text{ см}^2$$, б) $$24 \text{ см}^2$$, в) $$\frac{25 \sqrt{2} + 40}{2} \text{ см}^2$$