8. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее меньшее основание равно 7 см, боковая сторона - 13 см, высота - 12 см.

Для нахождения площади равнобедренной трапеции нам нужно знать длины обоих оснований и высоту. У нас есть меньшее основание (7 см), боковая сторона (13 см) и высота (12 см). Пусть (a) - меньшее основание (7 см), (b) - большее основание, (h) - высота (12 см), (c) - боковая сторона (13 см). Сначала найдем длину большего основания. Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему. Получим два прямоугольных треугольника и прямоугольник в центре. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников. Его гипотенуза - это боковая сторона трапеции (13 см), а один из катетов - высота (12 см). Найдем второй катет (x), который является частью большего основания. По теореме Пифагора: $$x^2 + h^2 = c^2$$ $$x^2 + 12^2 = 13^2$$ $$x^2 + 144 = 169$$ $$x^2 = 169 - 144$$ $$x^2 = 25$$ $$x = \sqrt{25}$$ $$x = 5$$ Так как трапеция равнобедренная, то оба отрезка, отсекаемые высотами на большем основании, равны (x). Тогда большее основание (b) будет равно: $$b = a + 2x = 7 + 2(5) = 7 + 10 = 17$$ Теперь, когда мы знаем оба основания и высоту, можем найти площадь трапеции по формуле: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$ $$S = \frac{7 + 17}{2} \cdot 12$$ $$S = \frac{24}{2} \cdot 12$$ $$S = 12 \cdot 12$$ $$S = 144$$ Ответ: Площадь трапеции равна 144 кв. см.