Найдите область определения выражения: 1) $$\frac{a^2+1}{a^2-1}$$; 2) $$\frac{|a|}{a^2-4a+4}$$; 3) $$\frac{1}{2a^2+a}$$; 4) $$\frac{1}{4a^2-5a}$$; 5) $$\frac{a-2}{a^2+4}$$; 6) $$\frac{a-1}{|a|+1}$$

Область определения выражения - это множество всех допустимых значений переменной, при которых выражение имеет смысл. В данном случае, для дробей нужно исключить значения переменной, при которых знаменатель равен нулю.

1. $$\frac{a^2+1}{a^2-1}$$: Знаменатель $$a^2-1 = (a-1)(a+1)$$ равен нулю при $$a = 1$$ и $$a = -1$$. Область определения: $$a
   eq 1, a
   eq -1$$.
2. $$\frac{|a|}{a^2-4a+4}$$: Знаменатель $$a^2-4a+4 = (a-2)^2$$ равен нулю при $$a = 2$$. Область определения: $$a
   eq 2$$.
3. $$\frac{1}{2a^2+a}$$: Знаменатель $$2a^2+a = a(2a+1)$$ равен нулю при $$a = 0$$ и $$a = -\frac{1}{2}$$. Область определения: $$a
   eq 0, a
   eq -\frac{1}{2}$$.
4. $$\frac{1}{4a^2-5a}$$: Знаменатель $$4a^2-5a = a(4a-5)$$ равен нулю при $$a = 0$$ и $$a = \frac{5}{4}$$. Область определения: $$a
   eq 0, a
   eq \frac{5}{4}$$.
5. $$\frac{a-2}{a^2+4}$$: Знаменатель $$a^2+4$$ всегда положителен (т.к. $$a^2 \geq 0$$), и никогда не равен нулю. Область определения: $$a \in \mathbb{R}$$ (все действительные числа).
6. $$\frac{a-1}{|a|+1}$$: Знаменатель $$|a|+1$$ всегда положителен (т.к. $$|a| \geq 0$$), и никогда не равен нулю. Область определения: $$a \in \mathbb{R}$$ (все действительные числа).