101. Найдите нули функции y = f(x), если: a) y = 7x2 - 6x - 1; б) у = √7-14x; в) у = 2x + 3 / 9- 4x² г) у = 5x-1 / x² + 16 102. Найдите нули функции у = f(x), если: a) y = |x| - 3 / x + 3; б) у = √3-2x / x + 5 103. Докажите, что функция, заданная формулой у = f(x), является чётной, если: a) f(x) = 6 - 5x2 + x4; б) f(x) = 5|x|. 104. Докажите, что функция у = f(x) является нечётной, если: a) f(x) = x + 1/x; б) f(x) = 2x³ - x. 105. Определите, является ли функция у = f(x) чётной или нечётной, если: a) f(x) = 5/x; B) f(x) = x³ - x; б) f(x) = 5 - 3x²; г) f(x) = 1 − |x|.

Я вижу перед собой задания по алгебре, связанные с исследованием функций. Необходимо найти нули функций, доказать четность/нечетность и определить тип функций. Приступаю к решению. 101. Найдите нули функции y = f(x), если: a) y = 7x² - 6x - 1 Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение 7x² - 6x - 1 = 0. $$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$$ Нули функции: $$\bf{x_1 = 1, x_2 = -\frac{1}{7}}$$. б) y = √7-14x Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение √7-14x = 0. Возводим обе части уравнения в квадрат: 7 - 14x = 0. 14x = 7 x = 7/14 x = 1/2 Нуль функции: $$\bf{x = \frac{1}{2}}$$. в) $$y = \frac{2x + 3}{9 - 4x^2}$$ Нули функции находятся при условии, что числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. 2x + 3 = 0 2x = -3 x = -3/2 Проверим знаменатель: 9 - 4(-3/2)² = 9 - 4(9/4) = 9 - 9 = 0. Знаменатель равен нулю, следовательно, x = -3/2 не является нулем функции, так как в этой точке функция не определена. Таким образом, $$\bf{нулей\ нет}$$. г) $$y = \frac{5x - 1}{x^2 + 16}$$ Нули функции находятся при условии, что числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. 5x - 1 = 0 5x = 1 x = 1/5 Проверим знаменатель: (1/5)² + 16 = 1/25 + 16 ≠ 0. Знаменатель не равен нулю. Нуль функции: $$\bf{x = \frac{1}{5}}$$. 102. Найдите нули функции y = f(x), если: a) $$y = \frac{|x| - 3}{x + 3}$$ Нули функции находятся при условии, что числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. |x| - 3 = 0 |x| = 3 x = 3 или x = -3 Проверим знаменатель: Если x = 3, то x + 3 = 3 + 3 = 6 ≠ 0. Если x = -3, то x + 3 = -3 + 3 = 0. Знаменатель равен нулю, следовательно, x = -3 не является нулем функции, так как в этой точке функция не определена. Нуль функции: $$\bf{x = 3}$$. б) $$y = \frac{\sqrt{3 - 2x}}{x + 5}$$ Нули функции находятся при условии, что числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $$\sqrt{3 - 2x} = 0$$ 3 - 2x = 0 2x = 3 x = 3/2 Проверим знаменатель: (3/2) + 5 = 3/2 + 10/2 = 13/2 ≠ 0. Знаменатель не равен нулю. Также необходимо проверить, что подкоренное выражение неотрицательно: 3 - 2(3/2) = 3 - 3 = 0. Условие выполняется. Нуль функции: $$\bf{x = \frac{3}{2}}$$. 103. Докажите, что функция, заданная формулой y = f(x), является чётной, если: Функция f(x) является четной, если f(-x) = f(x) для всех x из области определения функции. a) f(x) = 6 - 5x² + x⁴ f(-x) = 6 - 5(-x)² + (-x)⁴ = 6 - 5x² + x⁴ = f(x) Функция $$\bf{является\ четной}$$. б) f(x) = 5|x| f(-x) = 5|-x| = 5|x| = f(x) Функция $$\bf{является\ четной}$$. 104. Докажите, что функция y = f(x) является нечётной, если: Функция f(x) является нечетной, если f(-x) = -f(x) для всех x из области определения функции. a) $$f(x) = x + \frac{1}{x}$$ f(-x) = -x + \frac{1}{-x} = -x - \frac{1}{x} = -(x + \frac{1}{x}) = -f(x)$$ Функция $$\bf{является\ нечетной}$$. б) f(x) = 2x³ - x f(-x) = 2(-x)³ - (-x) = -2x³ + x = -(2x³ - x) = -f(x) Функция $$\bf{является\ нечетной}$$. 105. Определите, является ли функция y = f(x) чётной или нечётной, если: a) $$f(x) = \frac{5}{x}$$ f(-x) = \frac{5}{-x} = -\frac{5}{x} = -f(x)$$ Функция $$\bf{нечетная}$$. б) f(x) = 5 - 3x² f(-x) = 5 - 3(-x)² = 5 - 3x² = f(x) Функция $$\bf{четная}$$. в) f(x) = x³ - x f(-x) = (-x)³ - (-x) = -x³ + x = -(x³ - x) = -f(x) Функция $$\bf{нечетная}$$. г) f(x) = 1 - |x| f(-x) = 1 - |-x| = 1 - |x| = f(x) Функция $$\bf{четная}$$.