Найдите наименьшее целое число, являющееся решением системы неравенств: $$\begin{cases} \frac{x^2 - 1.5x - 7}{(x-4)^2} > 0, \\ x^2 < 25. \end{cases}$$

Решим систему неравенств:

$$\begin{cases} \frac{x^2 - 1.5x - 7}{(x-4)^2} > 0, \\ x^2 < 25. \end{cases}$$

Для начала рассмотрим первое неравенство. Так как $$(x-4)^2$$ всегда больше или равно нулю, а при $$x = 4$$ выражение не имеет смысла, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы числитель был больше нуля, то есть:

$$x^2 - 1.5x - 7 > 0$$

Решим это квадратное неравенство. Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2 - 1.5x - 7 = 0$$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$$2x^2 - 3x - 14 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-14) = 9 + 112 = 121$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 11}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$$ $$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 11}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

Следовательно, неравенство $$x^2 - 1.5x - 7 > 0$$ выполняется, когда $$x < -2$$ или $$x > 3.5$$.

Также из первого неравенства следует, что $$x
eq 4$$.

Теперь рассмотрим второе неравенство:

$$x^2 < 25$$

Это означает, что $$-5 < x < 5$$.

Объединим оба условия. Нам нужно найти значения $$x$$, которые удовлетворяют одновременно обоим неравенствам. Учитывая, что $$x < -2$$ или $$x > 3.5$$, а также $$-5 < x < 5$$ и $$x
eq 4$$, получаем:

$$-5 < x < -2$$ $$3.5 < x < 5$$

Наименьшее целое число, удовлетворяющее условию $$x < -2$$ и $$x > -5$$, это $$x = -4$$ и $$x = -3$$. Наименьшее из них $$x = -4$$.

Наименьшее целое число, удовлетворяющее условию $$x > 3.5$$ и $$x < 5$$, это $$x = 4$$. Но $$x
eq 4$$, следовательно, берем следующее целое число $$x = 5$$. Но $$x<5$$, следовательно $$x=4$$ не является решением, ближайшее целое $$x = 4.5$$. Целые решения в данном случае отсутствуют. Но тогда наименьшее целое число, удовлетворяющее обоим неравенствам, это $$x = -4$$ и $$x = -3$$.

Наименьшее целое число, которое является решением системы, это -4.