Найдите наименьшее и наибольшее значение функции: г) y = x² + 4x + 5, x ∈ (0; 1].

Решение:

Функция \( y = x^2 + 4x + 5 \) является квадратичной. Найдём её вершину и значения на концах отрезка.

1. Найдем координату x вершины параболы по формуле \( x_в = -\frac{b}{2a} \):
   \( a = 1 \), \( b = 4 \)
   \( x_в = -\frac{4}{2(1)} = -\frac{4}{2} = -2 \)
2. Так как вершина \( x_в = -2 \) не принадлежит интервалу \( (0; 1] \), то функция на данном интервале является монотонной. Так как \( a = 1 > 0 \), парабола направлена ветвями вверх, и на интервале \( (-2; \infty) \) функция возрастает. Следовательно, на интервале \( (0; 1] \) функция возрастает.
3. Для возрастающей функции на интервале \( (0; 1] \):
   Наименьшее значение будет стремиться к значению функции в точке \( x=0 \) (левый конец интервала, не включая его).
   \( y(0) = 0^2 + 4(0) + 5 = 5 \)
   Наибольшее значение будет достигаться на правом конце интервала \( x = 1 \):
   \( y(1) = 1^2 + 4(1) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10 \)

Ответ: Наибольшее значение: 10, Наименьшего значения (на интервале (0;1]) не существует, но значение стремится к 5.