12. Найдите модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: 1) z=3; 2) z=-3; 3) z=3i; 4) z=-3i; 5) z=-2-2i; 6) z= =1+i\sqrt{3}; 7) z=1-i\sqrt{3}; 8) z=-\sqrt{3}+i.

Решение:

1. $$z = 3 = 3 + 0i$$
   • Модуль: $$|z| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$$
   • Аргумент: $$arg(z) = arctg(\frac{0}{3}) = 0$$
2. $$z = -3 = -3 + 0i$$
   • Модуль: $$|z| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = 3$$
   • Аргумент: $$arg(z) = arctg(\frac{0}{-3}) = \pi$$
3. $$z = 3i = 0 + 3i$$
   • Модуль: $$|z| = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3$$
   • Аргумент: $$arg(z) = arctg(\frac{3}{0}) = \frac{\pi}{2}$$
4. $$z = -3i = 0 - 3i$$
   • Модуль: $$|z| = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3$$
   • Аргумент: $$arg(z) = arctg(\frac{-3}{0}) = -\frac{\pi}{2}$$
5. $$z = -2 - 2i$$
   • Модуль: $$|z| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$
   • Аргумент: $$arg(z) = arctg(\frac{-2}{-2}) = arctg(1) = -\frac{3\pi}{4}$$
6. $$z = 1 + i\sqrt{3}$$
   • Модуль: $$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$
   • Аргумент: $$arg(z) = arctg(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \frac{\pi}{3}$$
7. $$z = 1 - i\sqrt{3}$$
   • Модуль: $$|z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$
   • Аргумент: $$arg(z) = arctg(\frac{-\sqrt{3}}{1}) = -\frac{\pi}{3}$$
8. $$z = -\sqrt{3} + i$$
   • Модуль: $$|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$
   • Аргумент: $$arg(z) = arctg(\frac{1}{-\sqrt{3}}) = \frac{5\pi}{6}$$