Найдите косинус угла между векторами а = 4m –р и b = m + 2р, если m ⊥ р и |m|=|р|= 1.

Ответ: Cos(a) = 2/\(\sqrt{17}\)

Решение:

Дано:

• \(\overrightarrow{a} = 4\overrightarrow{m} - \overrightarrow{p}\)
• \(\overrightarrow{b} = \overrightarrow{m} + 2\overrightarrow{p}\)
• \(\overrightarrow{m} \perp \overrightarrow{p}\), значит, \(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{p} = 0\)
• \(|\overrightarrow{m}| = |\overrightarrow{p}| = 1\)

Найти: \(\cos(\alpha)\), где \(\alpha\) - угол между векторами \[\overrightarrow{a}\] и \[\overrightarrow{b}\]

Решение:

1) Найдем скалярное произведение векторов \[\overrightarrow{a}\] и \[\overrightarrow{b}\]:

• \[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (4\overrightarrow{m} - \overrightarrow{p}) \cdot (\overrightarrow{m} + 2\overrightarrow{p}) = 4(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{m}) + 8(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{p}) - (\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{m}) - 2(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{p})\]
• Так как \(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{p} = 0\), то:
• \[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 4|\overrightarrow{m}|^2 - 2|\overrightarrow{p}|^2 = 4 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1^2 = 4 - 2 = 2\]

2) Найдем модули векторов \[\overrightarrow{a}\] и \[\overrightarrow{b}\]:

• \[|\overrightarrow{a}| = \sqrt{(4\overrightarrow{m} - \overrightarrow{p})^2} = \sqrt{16|\overrightarrow{m}|^2 - 8(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{p}) + |\overrightarrow{p}|^2} = \sqrt{16 \cdot 1^2 + 1^2} = \sqrt{17}\]
• \[|\overrightarrow{b}| = \sqrt{(\overrightarrow{m} + 2\overrightarrow{p})^2} = \sqrt{|\overrightarrow{m}|^2 + 4(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{p}) + 4|\overrightarrow{p}|^2} = \sqrt{1^2 + 4 \cdot 1^2} = \sqrt{5}\]

3) Найдем косинус угла между векторами \[\overrightarrow{a}\] и \[\overrightarrow{b}\]:

• \[\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \frac{2}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{85}}\]

Ответ: Cos(a) = \(\frac{2}{\sqrt{85}}\)