Найдите корень уравнения log₄(16 - 2x) = 2log₄3.

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Выражение под логарифмом должно быть положительным:

\[ 16 - 2x > 0 \]

\[ 16 > 2x \]

\[ 8 > x \]

Теперь преобразуем правую часть уравнения, используя свойство логарифма \( n \log_a b = \log_a b^n \):

\[ 2\log_4 3 = \log_4 3^2 = \log_4 9 \]

Исходное уравнение принимает вид:

\[ \log_4 (16 - 2x) = \log_4 9 \]

Так как логарифмическая функция является монотонной, если логарифмы равны при одинаковых основаниях, то и их аргументы равны:

\[ 16 - 2x = 9 \]

\[ 16 - 9 = 2x \]

\[ 7 = 2x \]

\[ x = \frac{7}{2} \]

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение \( x = \frac{7}{2} \) ОДЗ:

\[ x = 3.5 \]

Так как \( 3.5 < 8 \), значение \( x = \frac{7}{2} \) подходит.

Ответ: 7/2.