Найдите корень уравнения (1/2)^(-2x+5) : (1/2)^(-6x+7) = 1/16

Решение:

Для решения данного уравнения воспользуемся свойствами степеней. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( a^m : a^n = a^{m-n} \). Также представим правую часть уравнения в виде степени основания \( \frac{1}{2} \).

\( \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \)

Теперь запишем уравнение:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-2x+5} : \left(\frac{1}{2}\right)^{-6x+7} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \]

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{(-2x+5) - (-6x+7)} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \]

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-2x+5+6x-7} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \]

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{4x-2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \]

Поскольку основания степеней равны, приравняем показатели:

\[ 4x - 2 = 4 \]

\[ 4x = 4 + 2 \]

\[ 4x = 6 \]

\[ x = \frac{6}{4} \]

\[ x = \frac{3}{2} \]

Ответ: 3/2.