Найдите координаты вершины B₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ , если известны координаты вершин A(-3; 8; -5), C(−7; 6; 7), D(4; -2; -3), A₁ (1; 2; 0).

Для нахождения координат вершины B₁, можно воспользоваться тем, что в параллелепипеде противоположные грани параллельны и равны. Это означает, что вектор AB равен вектору D₁C₁ и вектор AA₁ равен вектору BB₁.

Сначала найдем координаты точки B. Для этого используем тот факт, что ABCD - параллелограмм, и векторы AB и DC равны. Пусть B(x, y, z). Тогда:

Вектор AB = B - A = (x + 3, y - 8, z + 5)

Вектор DC = C - D = (-7 - 4, 6 + 2, 7 + 3) = (-11, 8, 10)

Приравниваем векторы AB и DC:

x + 3 = -11 => x = -14

y - 8 = 8 => y = 16

z + 5 = 10 => z = 5

Итак, B(-14; 16; 5).

Теперь, когда известна координата точки B, можно найти координату точки B₁, зная, что вектор AA₁ равен вектору BB₁.

Вектор AA₁ = A₁ - A = (1 + 3, 2 - 8, 0 + 5) = (4, -6, 5)

Пусть B₁(x₁, y₁, z₁). Тогда:

Вектор BB₁ = B₁ - B = (x₁ + 14, y₁ - 16, z₁ - 5)

Приравниваем векторы AA₁ и BB₁:

x₁ + 14 = 4 => x₁ = -10

y₁ - 16 = -6 => y₁ = 10

z₁ - 5 = 5 => z₁ = 10

Следовательно, координаты вершины B₁ равны (-10; 10; 10).

Ответ: B₁(-10; 10; 10)