Найдите эту дробь.

Решение:

Пусть искомая дробь равна \( \frac{x}{y} \). По условию, если из числителя вычесть единицу, а из знаменателя вычесть единицу, то получится \( \frac{x-1}{y-1} = \frac{5}{3} \). Если из числителя вычесть единицу, а к знаменателю прибавить единицу, то получится \( \frac{x-1}{y+1} = \frac{1}{2} \).

Из первого уравнения: \( 3(x-1) = 5(y-1) \) \( 3x - 3 = 5y - 5 \) \( 3x - 5y = -2 \) (1)

Из второго уравнения: \( 2(x-1) = 1(y+1) \) \( 2x - 2 = y + 1 \) \( y = 2x - 3 \) (2)

Подставим (2) в (1):

\( 3x - 5(2x - 3) = -2 \)

\( 3x - 10x + 15 = -2 \)

\( -7x = -17 \)

\( x = \frac{17}{7} \)

Теперь найдём \( y \) из (2):

\( y = 2 \cdot \frac{17}{7} - 3 = \frac{34}{7} - \frac{21}{7} = \frac{13}{7} \)

Искомая дробь: \( \frac{x}{y} = \frac{17/7}{13/7} = \frac{17}{13} \).

Проверка:

\( \frac{17-1}{13-1} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3} \) - неверно. Значит, в условии опечатка. Возможен другой вариант условия.

Рассмотрим другой вариант условия:

Пусть искомая дробь равна \( \frac{a}{b} \). По условию, если из числителя вычесть единицу, то получится \( \frac{a-1}{b} = \frac{5}{3} \). Если к числителю прибавить единицу, то получится \( \frac{a+1}{b} = \frac{1}{2} \).

Из первого уравнения: \( 3(a-1) = 5b \) \( 3a - 3 = 5b \) (1)

Из второго уравнения: \( 2(a+1) = b \) \( 2a + 2 = b \) (2)

Подставим (2) в (1):

\( 3a - 3 = 5(2a + 2) \)

\( 3a - 3 = 10a + 10 \)

\( -7a = 13 \)

\( a = -\frac{13}{7} \)

Тогда \( b = 2(-\frac{13}{7}) + 2 = -\frac{26}{7} + \frac{14}{7} = -\frac{12}{7} \).

Дробь \( \frac{-13/7}{-12/7} = \frac{13}{12} \).

Проверка:

\( \frac{13-1}{12} = \frac{12}{12} = 1 \) - неверно.

Рассмотрим третий вариант условия:

Пусть дробь \( \frac{a}{b} \). Если из числителя вычесть 1, то получится \( \frac{a-1}{b} = \frac{5}{3} \). Если к знаменателю прибавить 1, то получится \( \frac{a}{b+1} = \frac{1}{2} \).

\( 3a - 3 = 5b \) (1)

\( 2a = b+1 \) \( b = 2a - 1 \) (2)

Подставим (2) в (1):

\( 3a - 3 = 5(2a - 1) \)

\( 3a - 3 = 10a - 5 \)

\( -7a = -2 \)

\( a = \frac{2}{7} \)

\( b = 2(\frac{2}{7}) - 1 = \frac{4}{7} - \frac{7}{7} = -\frac{3}{7} \)

Дробь \( \frac{2/7}{-3/7} = -\frac{2}{3} \).

Проверка:

\( \frac{2-1}{-3} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \) - неверно.

Попробуем последнее толкование условия: \( \frac{a}{b} \). Если из числителя вычесть 1, то получится \( \frac{a-1}{b} = \frac{5}{3} \). Если из знаменателя вычесть 1, то получится \( \frac{a}{b-1} = \frac{1}{2} \).

\( 3a - 3 = 5b \) (1)

\( 2a = b-1 \) \( b = 2a + 1 \) (2)

Подставим (2) в (1):

\( 3a - 3 = 5(2a + 1) \)

\( 3a - 3 = 10a + 5 \)

\( -7a = 8 \)

\( a = -\frac{8}{7} \)

\( b = 2(-\frac{8}{7}) + 1 = -\frac{16}{7} + \frac{7}{7} = -\frac{9}{7} \)

Дробь \( \frac{-8/7}{-9/7} = \frac{8}{9} \).

Проверка:

\( \frac{8-1}{9} = \frac{7}{9} \) - неверно.

В условии задачи, вероятно, ошибка. Исходя из формулировки, что «получится 5/3», а «если из них вычесть по единице, то получится 1/2», можно предположить, что речь идет о разных дробях. Однако, в задании сказано «Найдите эту дробь», что указывает на одну и ту же дробь. Попробуем найти дробь, такую что \( \frac{a-1}{b-1} = \frac{5}{3} \) и \( \frac{a+1}{b+1} = \frac{1}{2} \).

\( 3a - 3 = 5b - 5 \) => \( 3a - 5b = -2 \) (1)

\( 2a + 2 = b + 1 \) => \( b = 2a + 1 \) (2)

Подставим (2) в (1):

\( 3a - 5(2a+1) = -2 \)

\( 3a - 10a - 5 = -2 \)

\( -7a = 3 \)

\( a = -\frac{3}{7} \)

\( b = 2(-\frac{3}{7}) + 1 = -\frac{6}{7} + \frac{7}{7} = \frac{1}{7} \)

Дробь \( \frac{-3/7}{1/7} = -3 \).

Проверка:

\( \frac{-3-1}{1-1} = \frac{-4}{0} \) - неопределенность. Значит, это неверное толкование.

Вернемся к первому варианту, где \( \frac{x}{y} \) — искомая дробь. Условие: «а если из них вычесть по единице, то получится 5/3». Это значит, что \( \frac{x-1}{y-1} = \frac{5}{3} \) и \( \frac{x}{y} = \frac{5}{3} \). Это противоречие.

В условии задачи, скорее всего, содержится опечатка. Если предположить, что \( \frac{x}{y} = \frac{5}{3} \) и \( \frac{x-1}{y+1} = \frac{1}{2} \).

\( x = \frac{5}{3}y \)

\( 2(x-1) = y+1 \)

\( 2(\frac{5}{3}y - 1) = y+1 \)

\( \frac{10}{3}y - 2 = y+1 \)

\( \frac{10}{3}y - y = 3 \)

\( \frac{7}{3}y = 3 \)

\( y = \frac{9}{7} \)

\( x = \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{7} = \frac{15}{7} \)

Дробь \( \frac{15}{7} \).

Проверка:

\( \frac{15-1}{9/7+1} = \frac{14}{16/7} = \frac{14 \times 7}{16} = \frac{7 \times 7}{8} = \frac{49}{8} \) - неверно.

Если условие: \( \frac{a}{b} \) такая, что \( \frac{a-1}{b-1} = \frac{5}{3} \). Тогда \( 3a - 3 = 5b - 5 \) => \( 3a - 5b = -2 \). Если \( \frac{a}{b} = \frac{1}{2} \), то \( b = 2a \). Подставляем: \( 3a - 5(2a) = -2 \) => \( 3a - 10a = -2 \) => \( -7a = -2 \) => \( a = \frac{2}{7} \). Тогда \( b = 2 \cdot \frac{2}{7} = \frac{4}{7} \). Дробь \( \frac{2}{7} / \frac{4}{7} = \frac{1}{2} \). Проверяем первое условие: \( \frac{2/7 - 1}{4/7 - 1} = \frac{-5/7}{-3/7} = \frac{5}{3} \). Это подходит.

Ответ: \( \frac{2}{7} \).