Найдите для функции $$f$$ первообразную, график которой проходит через точку $$M$$: $$f(x) = (x-2)(x^2+2x+4)$$, $$M(-1; 13)$$.

Сначала упростим функцию $$f(x)$$. Заметим, что $$x^2 + 2x + 4$$ похоже на неполный квадрат суммы. Умножим $$f(x)$$, используя формулу разности кубов $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$:

$$f(x) = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8$$

Теперь найдем первообразную функции $$f(x) = x^3 - 8$$. Общая первообразная имеет вид:

$$F(x) = \int (x^3 - 8) dx = \frac{x^4}{4} - 8x + C$$

где $$C$$ - константа интегрирования.

Чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку $$M(-1; 13)$$, подставим координаты точки в уравнение первообразной:

$$13 = \frac{(-1)^4}{4} - 8(-1) + C$$

$$13 = \frac{1}{4} + 8 + C$$

$$C = 13 - 8 - \frac{1}{4} = 5 - \frac{1}{4} = \frac{20}{4} - \frac{1}{4} = \frac{19}{4}$$

Таким образом, искомая первообразная:

$$F(x) = \frac{x^4}{4} - 8x + \frac{19}{4}$$

Ответ: $$F(x) = \frac{x^4}{4} - 8x + \frac{19}{4}$$