Решение задачи по геометрии

Рассмотрим треугольник ABC. Известно, что BD и BF являются высотами, проведенными к стороне AC и AB соответственно.

1. Рассмотрим подобные треугольники.

Треугольники ABF и CBD подобны по двум углам (прямой угол и угол B общий). Следовательно, можем записать соотношение сторон:

$$\frac{AF}{BD} = \frac{AB}{BC} = \frac{BF}{CD}$$

2. Найдем BC.

Подставим известные значения: AF = 4, BD = 3 и AD = AF + FC. Значит, можем записать: $$\frac{4}{3} = \frac{AB}{BC}$$

Известно, что DC = 6. Нужно найти BC, зная, что BD - высота, и DC - часть основания AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC:

По теореме Пифагора: $$BC^2 = BD^2 + DC^2$$

Подставим известные значения: BD = 3, DC = 6.

$$BC^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$$

Следовательно:

$$BC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

3. Найдем FC.

Из подобия треугольников ABF и CBD следует:

$$\frac{AF}{BD} = \frac{BF}{CD}$$

Также, треугольники BFC и ABD подобны по двум углам (прямой угол и угол B общий). Следовательно, можем записать соотношение сторон:

$$\frac{FC}{AD} = \frac{BC}{AB} = \frac{BF}{BD}$$

Так как BC = 3√5, и DC = 6, рассмотрим треугольник ABC и высоту BD.

Рассмотрим подобие треугольников BFC и BDA:

$$\frac{FC}{BD} = \frac{BC}{AB}$$

Из соотношения AB/BC = 4/3, получаем AB = (4/3)BC = (4/3) * 3√5 = 4√5.

Значит:

$$\frac{FC}{3} = \frac{3\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}$$ $$FC = 3 * \frac{3}{4} = \frac{9}{4} = 2.25$$

Ответ:

$$BC = 3\sqrt{5}$$

$$FC = 2.25$$