Найдите больший корень уравнения $$(\sqrt{7} + \sqrt{48})^x + (\sqrt{7} - \sqrt{48})^x = 14$$

Прежде всего, упростим выражение $$\sqrt{48}$$: $$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$ Тогда наше уравнение примет вид: $$(\sqrt{7} + 4\sqrt{3})^x + (\sqrt{7} - 4\sqrt{3})^x = 14$$ Заметим, что $$(\sqrt{7} + 4\sqrt{3})(\sqrt{7} - 4\sqrt{3}) = 7 - 16 \cdot 3 = 7 - 48 = -41$$ Это не приводит к упрощению. Однако, заметим, что $$\sqrt{7 + \sqrt{48}} = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 3 + 2 \cdot 2 \sqrt{3}} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$$ Тогда $$\sqrt{7 - \sqrt{48}} = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 3 - 2 \cdot 2 \sqrt{3}} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$$ Теперь наше уравнение можно переписать как: $$(2 + \sqrt{3})^x + (2 - \sqrt{3})^x = 14$$ Заметим, что $$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$$. Следовательно, $$2 - \sqrt{3} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$$. Пусть $$t = (2 + \sqrt{3})^x$$. Тогда $$(2 - \sqrt{3})^x = \frac{1}{t}$$. И уравнение принимает вид: $$t + \frac{1}{t} = 14$$ Умножим обе части на $$t$$: $$t^2 + 1 = 14t$$ $$t^2 - 14t + 1 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$t = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{192}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{64 \cdot 3}}{2} = \frac{14 \pm 8\sqrt{3}}{2} = 7 \pm 4\sqrt{3}$$ Итак, мы имеем два значения для $$t$$: $$t_1 = 7 + 4\sqrt{3}$$ и $$t_2 = 7 - 4\sqrt{3}$$. Вспомним, что $$t = (2 + \sqrt{3})^x$$. Рассмотрим $$t_1 = 7 + 4\sqrt{3}$$. Заметим, что $$7 + 4\sqrt{3} = 4 + 3 + 4\sqrt{3} = 2^2 + (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot 2 \sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2$$. Тогда $$(2 + \sqrt{3})^x = (2 + \sqrt{3})^2$$, откуда $$x = 2$$. Теперь рассмотрим $$t_2 = 7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2 = \frac{1}{(2 + \sqrt{3})^2} = (2 + \sqrt{3})^{-2}$$. Тогда $$(2 + \sqrt{3})^x = (2 + \sqrt{3})^{-2}$$, откуда $$x = -2$$. Итак, мы получили два корня: $$x_1 = 2$$ и $$x_2 = -2$$. Больший из них равен 2. Ответ: 2