Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 60° и 135°, а CD = 36.

Решение:

1. Проведем из вершины С прямую, параллельную стороне АВ, до пересечения со стороной CD в точке М.
2. Тогда АВСМ — параллелограмм. Следовательно, АВ = СМ, \(\angle BCD = \angle BАD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\).
3. \(\angle BCM = 180^{\circ} - \angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\).
4. \(\angle MCD = \angle BCD - \angle BCM = 135^{\circ} - 120^{\circ} = 15^{\circ}\).
5. \(\angle CMB = \angle ABC = 60^{\circ}\).
6. В треугольнике CMD: \(\angle CMD = 180^{\circ} - \angle CMB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\) (как смежные).
7. \(\angle CDM = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}\) (как односторонние углы трапеции).
8. \(\angle CMD = 180^{\circ} - \angle CDM - \angle CDM = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 15^{\circ} = 120^{\circ}\).
9. Проведем высоту из вершины С к основанию CD. Пусть она равна h.
10. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, стороной CM и отрезком MD: \( CM = \frac{h}{\sin 45^{\circ}} \), \( MD = \frac{h}{\tan 45^{\circ}} = h \).
11. \( CM = AB \).
12. \( CD = CM + MD = 36 \).
13. \( h = CM \sin 60^{\circ} = CM \frac{\sqrt{3}}{2} \).
14. \( MD = CM \cos 60^{\circ} = CM \frac{1}{2} \).
15. \( CD = CM + \frac{1}{2} CM = \frac{3}{2} CM = 36 \).
16. \( CM = 36 \cdot \frac{2}{3} = 24 \).
17. \( AB = CM = 24 \).

Ответ: 24