Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нём BH - катет, AH - катет, AB - гипотенуза.

Косинус угла A равен отношению прилежащего катета AH к гипотенузе AB:

$$cos A = \frac{AH}{AB}$$

Подставим известные значения:

$$\frac{3}{5} = \frac{10}{AB}$$

Найдём AB, используя пропорцию:

$$AB = \frac{10 \cdot 5}{3} = \frac{50}{3}$$

Теперь, когда известна гипотенуза AB и катет AH, найдём катет BH по теореме Пифагора:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$ $$BH^2 = AB^2 - AH^2$$ $$BH^2 = (\frac{50}{3})^2 - 10^2 = \frac{2500}{9} - 100 = \frac{2500 - 900}{9} = \frac{1600}{9}$$

Извлечём квадратный корень:

$$BH = \sqrt{\frac{1600}{9}} = \frac{\sqrt{1600}}{\sqrt{9}} = \frac{40}{3}$$

Выразим результат в виде десятичной дроби:

$$BH = \frac{40}{3} = 13,(3)$$

Ответ: $$BH = 13,(3)$$