Найди экстремумы функции (f(x) = 2x^3 + 8x^2 + 8x + 6).

Чтобы найти экстремумы функции, нужно выполнить следующие шаги: 1. Найти первую производную функции (f(x)). 2. Приравнять первую производную к нулю и решить уравнение, чтобы найти критические точки. 3. Найти вторую производную функции (f(x)). 4. Определить знак второй производной в каждой критической точке. Если вторая производная положительна, то в этой точке минимум, если отрицательна - максимум. Выполним эти шаги: 1. Находим первую производную: \[f'(x) = 6x^2 + 16x + 8\] 2. Приравниваем первую производную к нулю и решаем уравнение: \[6x^2 + 16x + 8 = 0\] Разделим уравнение на 2: \[3x^2 + 8x + 4 = 0\] Находим дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 cdot 3 cdot 4 = 64 - 48 = 16\] Находим корни: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{16}}{2 cdot 3} = \frac{-8 + 4}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{16}}{2 cdot 3} = \frac{-8 - 4}{6} = \frac{-12}{6} = -2\] Критические точки: (x_1 = -\frac{2}{3}) и (x_2 = -2). 3. Находим вторую производную: \[f''(x) = 12x + 16\] 4. Определяем знак второй производной в каждой критической точке: \[f''(-\frac{2}{3}) = 12(-\frac{2}{3}) + 16 = -8 + 16 = 8 > 0\] Так как (f''(-\frac{2}{3}) > 0), то в точке (x = -\frac{2}{3}) минимум. \[f''(-2) = 12(-2) + 16 = -24 + 16 = -8 < 0\] Так как (f''(-2) < 0), то в точке (x = -2) максимум. Ответ: Максимум в точке (x = -2) Минимум в точке (x = -\frac{2}{3})