30 Наташа вписала цифры 1, 2, ..., 9 в кружки в произвольном порядке. Затем она выписала 9 трёхзначных чисел, каждое из которых состоит из цифр, стоящих в трёх кружках подряд по часовой стрелке. Например, и так далее. Одно из этих чисел (обозначим его а) является делителем значений числа а? суммы других в чисел. Сколько существует возможных (A) 1 (Б) 2 (B) 3 (1) 4 (Д) 5

Ответ: (А) 1

Пусть a - одно из чисел, которое является делителем суммы остальных 8 чисел, обозначим эту сумму S. То есть S делится на a, или другими словами, S = ka, где k - некоторое целое число.

Сумма всех 9 чисел равна 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45.

Тогда можно выразить сумму S как S = 45 - a.

Подставим S = 45 - a в уравнение S = ka:

45 - a = ka

45 = a(k+1)

Это означает, что число a должно быть делителем числа 45. Делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45.

Теперь рассмотрим сумму оставшихся 8 чисел (S) для каждого возможного значения a:

• Если a = 1, то S = 45 - 1 = 44. 44 не делится на 1.
• Если a = 3, то S = 45 - 3 = 42. 42 делится на 3, S = 14a.
• Если a = 5, то S = 45 - 5 = 40. 40 делится на 5, S = 8a.
• Если a = 9, то S = 45 - 9 = 36. 36 делится на 9, S = 4a.
• Если a = 15, то S = 45 - 15 = 30. 30 делится на 15, S = 2a.

Чтобы выполнялось условие, число a должно быть равно 4, поскольку 4 - делитель числа 45.

Это означает, что только одно число из этих девяти может быть делителем суммы остальных, когда a=4.

Ответ: (А) 1