967 Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3). 968 Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; 6), проходящей через точку В (-3; 2). 969 Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: a) M (-3; 5), N (7; -3); б) М (2; −1), N (4; 3). 970 Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А (1;3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких окружностей? 71 Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (-3; 0) и В (0; 9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

Это задачи по геометрии, на составление уравнений окружностей по заданным условиям. Решим их по порядку.

967.

Уравнение окружности с центром в начале координат (0; 0) имеет вид $$x^2 + y^2 = r^2$$. Окружность проходит через точку B(-1; 3). Подставим координаты точки B в уравнение окружности, чтобы найти радиус:

$$(-1)^2 + (3)^2 = r^2$$

$$1 + 9 = r^2$$

$$r^2 = 10$$

Таким образом, уравнение окружности:

$$x^2 + y^2 = 10$$

968.

Уравнение окружности с центром в точке A(0; 6) имеет вид $$(x - 0)^2 + (y - 6)^2 = r^2$$, то есть $$x^2 + (y - 6)^2 = r^2$$. Окружность проходит через точку B(-3; 2). Подставим координаты точки B в уравнение окружности, чтобы найти радиус:

$$(-3)^2 + (2 - 6)^2 = r^2$$

$$9 + (-4)^2 = r^2$$

$$9 + 16 = r^2$$

$$r^2 = 25$$

Таким образом, уравнение окружности:

$$x^2 + (y - 6)^2 = 25$$

969.

а) Даны точки M(-3; 5) и N(7; -3), которые являются концами диаметра окружности. Центр окружности находится посередине между этими точками. Найдем координаты центра O(x₀; y₀):

$$x_0 = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$y_0 = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Центр окружности O(2; 1). Радиус равен половине длины диаметра. Найдем длину диаметра MN:

$$MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(7 - (-3))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{(10)^2 + (-8)^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164}$$

Радиус равен половине диаметра:

$$r = \frac{MN}{2} = \frac{\sqrt{164}}{2}$$, тогда $$r^2 = \frac{164}{4} = 41$$

Уравнение окружности имеет вид:

$$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41$$

б) Даны точки M(2; -1) и N(4; 3), которые являются концами диаметра окружности. Найдем координаты центра O(x₀; y₀):

$$x_0 = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$y_0 = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Центр окружности O(3; 1). Найдем длину диаметра MN:

$$MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$$

Радиус равен половине диаметра:

$$r = \frac{MN}{2} = \frac{\sqrt{20}}{2}$$, тогда $$r^2 = \frac{20}{4} = 5$$

Уравнение окружности имеет вид:

$$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5$$

970.

Центр окружности лежит на оси абсцисс, значит его координата y равна 0. Пусть центр имеет координаты (x₀; 0). Окружность проходит через точку A(1; 3), и радиус равен 5. Уравнение окружности имеет вид:

$$(x - x_0)^2 + (y - 0)^2 = r^2$$

$$(x - x_0)^2 + y^2 = 25$$

Подставим координаты точки A(1; 3) в уравнение:

$$(1 - x_0)^2 + 3^2 = 25$$

$$(1 - x_0)^2 + 9 = 25$$

$$(1 - x_0)^2 = 16$$

$$1 - x_0 = \pm 4$$

Отсюда два варианта:

1) $$1 - x_0 = 4$$, $$x_0 = 1 - 4 = -3$$

2) $$1 - x_0 = -4$$, $$x_0 = 1 + 4 = 5$$

Таким образом, есть два возможных центра: (-3; 0) и (5; 0). Соответственно, два уравнения окружностей:

$$(x + 3)^2 + y^2 = 25$$

$$(x - 5)^2 + y^2 = 25$$

Существует две таких окружности.

971.

Центр окружности лежит на оси ординат, значит его координата x равна 0. Пусть центр имеет координаты (0; y₀). Окружность проходит через точки A(-3; 0) и B(0; 9). Уравнение окружности имеет вид:

$$(x - 0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$$

$$x^2 + (y - y_0)^2 = r^2$$

Подставим координаты точек A и B в уравнение:

A(-3; 0): $$(-3)^2 + (0 - y_0)^2 = r^2$$

$$9 + y_0^2 = r^2$$

B(0; 9): $$0^2 + (9 - y_0)^2 = r^2$$

$$(9 - y_0)^2 = r^2$$

Приравняем оба уравнения:

$$9 + y_0^2 = (9 - y_0)^2$$

$$9 + y_0^2 = 81 - 18y_0 + y_0^2$$

$$18y_0 = 72$$

$$y_0 = 4$$

Теперь найдем радиус, подставив y₀ в одно из уравнений, например в первое:

$$9 + 4^2 = r^2$$

$$9 + 16 = r^2$$

$$r^2 = 25$$

Уравнение окружности имеет вид:

$$x^2 + (y - 4)^2 = 25$$