1. Начертите два неколлинеарных вектора а и Б. Постройте векторы, равные: а) 1/2 а + 36; б) 26 - ā. 2. На стороне ВС ромба ABCD лежит точка К так, что BK = KC, O – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы AO, AK, KD через векторы а = AB и b = AD. 3. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4*. В треугольнике ВС точка О - точка пересечения медиан. Выразите вектор АО через векторы а = АВ и Б = AC.

1. Начертите два неколлинеарных вектора $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$. Постройте векторы, равные:

а) $$\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}$$

Для построения вектора $$\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}$$ необходимо сначала построить вектор $$\frac{1}{2}\vec{a}$$, который будет в два раза короче вектора $$\vec{a}$$ и сонаправлен с ним. Затем построить вектор $$3\vec{b}$$, который будет в три раза длиннее вектора $$\vec{b}$$ и сонаправлен с ним. После этого применить правило параллелограмма или треугольника для сложения полученных векторов $$\frac{1}{2}\vec{a}$$ и $$3\vec{b}$$. Решение представить невозможно, так как это графическое задание.

б) $$2\vec{b} - \vec{a}$$

Для построения вектора $$2\vec{b} - \vec{a}$$ необходимо сначала построить вектор $$2\vec{b}$$, который будет в два раза длиннее вектора $$\vec{b}$$ и сонаправлен с ним. Затем построить вектор $$-\vec{a}$$, который будет равен по длине вектору $$\vec{a}$$, но направлен в противоположную сторону. После этого применить правило параллелограмма или треугольника для сложения полученных векторов $$2\vec{b}$$ и $$-\vec{a}$$. Решение представить невозможно, так как это графическое задание.

2. На стороне $$BC$$ ромба $$ABCD$$ лежит точка $$K$$ так, что $$BK = KC$$, $$O$$ – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $$\vec{AO}$$, $$\vec{AK}$$, $$\vec{KD}$$ через векторы $$\vec{a} = \vec{AB}$$ и $$\vec{b} = \vec{AD}$$.

В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым углом. Точка $$O$$ - середина диагоналей $$AC$$ и $$BD$$.

$$\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$$

$$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$$

$$\vec{KD} = \vec{AD} - \vec{AK} = \vec{AD} - (\vec{AB} + \vec{BK}) = \vec{b} - (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$$

Ответ: $$\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$$, $$\vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$$, $$\vec{KD} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$$.

3. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть $$ABCD$$ - равнобедренная трапеция, $$BC$$ - меньшее основание, $$AD$$ - большее основание. Высота $$BH$$ делит основание $$AD$$ на отрезки $$AH = 5$$ см и $$HD = 12$$ см. В равнобедренной трапеции отрезки, на которые высота делит большее основание, равны:

$$AH = \frac{AD - BC}{2}$$ и $$HD = \frac{AD + BC}{2}$$

Тогда $$AD = AH + HD = 5 + 12 = 17$$ см.

$$AH = \frac{AD - BC}{2} \Rightarrow 5 = \frac{17 - BC}{2} \Rightarrow 10 = 17 - BC \Rightarrow BC = 17 - 10 = 7$$ см.

Средняя линия трапеции $$MN = \frac{BC + AD}{2} = \frac{7 + 17}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ см.

Ответ: 12 см.

4*. В треугольнике $$ABC$$ точка $$O$$ - точка пересечения медиан. Выразите вектор $$\vec{AO}$$ через векторы $$\vec{a} = \vec{AB}$$ и $$\vec{b} = \vec{AC}$$.

Пусть $$BM$$ - медиана, проведенная из вершины $$B$$ к стороне $$AC$$. Тогда $$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{b}$$.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, $$AO = \frac{2}{3}AM$$.

$$\vec{AO} = \frac{2}{3}\vec{AM}$$.

$$\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{a} + \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$$

$$\vec{AO} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$$

Ответ: $$\vec{AO} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$$.