На тренировке по метанию копья каждая девочка делает 24 броска, каждый мальчик – 32 броска, а тренер от 20 до 25 бросков. На очередной тренировке было сделано 286 бросков. Найдите, сколько могло быть девочек, и запишите в ответ сумму всех возможных значений.

Пусть x – количество девочек, y – количество мальчиков, z – количество тренеров.

Тогда общее количество бросков можно выразить уравнением:

$$24x + 32y + z = 286$$

Выразим z:

$$z = 286 - 24x - 32y$$

Так как 20 ≤ z ≤ 25, то получаем двойное неравенство:

$$20 \le 286 - 24x - 32y \le 25$$

Вычтем 286 из всех частей неравенства:

$$-266 \le -24x - 32y \le -261$$

Умножим все части неравенства на -1 (при этом знаки неравенства меняются на противоположные):

$$261 \le 24x + 32y \le 266$$

Разделим все части неравенства на 8:

$$32.625 \le 3x + 4y \le 33.25$$

Так как x и y – целые числа, то 3x + 4y может принимать только целые значения. Следовательно, 3x + 4y может быть равно 33.

$$3x + 4y = 33$$

Выразим x:

$$3x = 33 - 4y$$

$$x = \frac{33 - 4y}{3} = 11 - \frac{4y}{3}$$

Так как x – целое число, то 4y должно делиться на 3, а значит, и y должно делиться на 3. Следовательно, y может принимать значения 0, 3, 6.

• Если y = 0, то x = 11. В этом случае z = 286 - 24 * 11 - 32 * 0 = 286 - 264 = 22. Так как 20 ≤ z ≤ 25, то этот случай подходит.
• Если y = 3, то x = (33 - 4 * 3) / 3 = (33 - 12) / 3 = 21 / 3 = 7. В этом случае z = 286 - 24 * 7 - 32 * 3 = 286 - 168 - 96 = 286 - 264 = 22. Так как 20 ≤ z ≤ 25, то этот случай подходит.
• Если y = 6, то x = (33 - 4 * 6) / 3 = (33 - 24) / 3 = 9 / 3 = 3. В этом случае z = 286 - 24 * 3 - 32 * 6 = 286 - 72 - 192 = 286 - 264 = 22. Так как 20 ≤ z ≤ 25, то этот случай подходит.

Итак, количество девочек может быть 11, 7 или 3. Сумма всех возможных значений:

$$11 + 7 + 3 = 21$$

Ответ:

21