2. На стороне BC ромба ABCD лежит точка K так, что BK = KC, O – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $$AO$$, $$AK$$, $$AC$$ через векторы $$a = AB$$ и $$b = AD$$.

В ромбе все стороны равны, и противоположные стороны параллельны. Диагонали ромба перпендикулярны и делят углы пополам.

1. Т.к. $$O$$ - точка пересечения диагоналей ромба, то $$AO = \frac{1}{2}AC$$. $$AC$$ - это диагональ ромба, которая может быть выражена как сумма двух векторов: $$a$$ и $$b$$. Следовательно, $$AC = a + b$$. Тогда: $$AO = \frac{1}{2}(a + b)$$.
2. Точка $$K$$ лежит на стороне $$BC$$ и делит её пополам, значит $$BK = KC = \frac{1}{2}BC$$. Т.к. ромб, то $$BC = AD = b$$. Чтобы выразить вектор $$AK$$, можно воспользоваться правилом треугольника: $$AK = AB + BK = a + \frac{1}{2}b$$.
3. Вектор $$AC$$ уже был выражен выше: $$AC = a + b$$.

Ответ:

• $$AO = \frac{1}{2}(a + b)$$
• $$AK = a + \frac{1}{2}b$$
• $$AC = a + b$$