Контрольные задания
Вопрос:

На стороне АВ треугольника АВС отметили точку М так, что ВМ = СМ. Отрезок МК — биссектриса треугольника АМС. Докажите, что МК || BC.

Фото заданияФото задания

Ответ:

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), M на AB, \( BM = CM \), MK — биссектриса \( \angle AMC \).

Доказать: \( MK \parallel BC \).

Доказательство:

  1. Рассмотрим \( \triangle BMC \). Так как \( BM = CM \), то \( \triangle BMC \) — равнобедренный.
  2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle MBC = \angle MCB \).
  3. Пусть \( \angle MBC = \angle MCB = \beta \).
  4. MK — биссектриса \( \angle AMC \) по условию. Это значит, что \( \angle AMK = \angle KMC \).
  5. Рассмотрим \( \triangle AMC \). Сумма углов в \( \triangle AMC \) равна 180°: \( \angle MAC + \angle AMC + \angle MCA = 180° \).
  6. Угол \( \angle AMC \) является смежным с углом \( \angle BMC \). \( \angle AMC + \angle BMC = 180° \).
  7. Из \( \triangle BMC \) имеем \( \angle BMC = 180° - 2\beta \).
  8. Тогда \( \angle AMC = 180° - \angle BMC = 180° - (180° - 2\beta) = 2\beta \).
  9. Так как MK — биссектриса \( \angle AMC \), то \( \angle AMK = \angle KMC = \frac{\angle AMC}{2} = \frac{2\beta}{2} = \beta \).
  10. Теперь сравним углы \( \angle AMK \) и \( \angle MCB \). Мы получили, что \( \angle AMK = \beta \) и \( \angle MCB = \beta \).
  11. Рассмотрим углы \( \angle KMC \) и \( \angle MBC \). Мы получили, что \( \angle KMC = \beta \) и \( \angle MBC = \beta \).
  12. Углы \( \angle KMC \) и \( \angle MBC \) являются накрест лежащими при прямых MK и BC и секущей MC. Так как \( \angle KMC = \angle MBC \), то по признаку параллельности прямых, \( MK \parallel BC \).

Альтернативное доказательство через накрест лежащие углы:

  1. \( \triangle BMC \) — равнобедренный, \( BM = CM \).
  2. \( \angle MBC = \angle MCB = \beta \).
  3. \( \angle AMC = 180° - \angle BMC = 180° - (180° - 2\beta) = 2\beta \).
  4. MK — биссектриса \( \angle AMC \), значит \( \angle KMC = \frac{1}{2} \angle AMC = \frac{1}{2} (2\beta) = \beta \).
  5. Углы \( \angle KMC \) и \( \angle MBC \) являются накрест лежащими при секущей MC и прямых MK и BC.
  6. Так как \( \angle KMC = \beta \) и \( \angle MBC = \beta \), то \( \angle KMC = \angle MBC \).
  7. Следовательно, \( MK \parallel BC \) по признаку параллельности прямых (при равенстве накрест лежащих углов).

Доказано.

📄 Все ответы📸 Решить моё задание

Похожие