17. На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка D так, что AD = 6, DB = 11. Площадь треугольника АВС равна 51 (см. рис. 201). Найдите площадь треугольника ACD.

Площади треугольников, имеющих общую высоту, относятся как их основания. В треугольниках $$ACD$$ и $$BCD$$ общей является высота, проведённая из вершины $$C$$ к стороне $$AB$$. Поэтому $$\frac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = \frac{AD}{BD}$$. Из условия известно, что $$AD = 6$$ и $$DB = 11$$, следовательно, $$\frac{AD}{BD} = \frac{6}{11}$$. Также известно, что $$S_{ABC} = 51$$. При этом $$S_{ABC} = S_{ACD} + S_{BCD}$$. Пусть $$S_{ACD} = x$$, тогда $$S_{BCD} = 51 - x$$. Имеем: $$\frac{x}{51 - x} = \frac{6}{11}$$. Решим уравнение: $$11x = 6(51 - x)$$, $$11x = 306 - 6x$$, $$17x = 306$$, $$x = \frac{306}{17} = 18$$. Следовательно, площадь треугольника $$ACD$$ равна 18.