305 На стороне AD треугольника ADC отме- чена точка В так, что ВС = BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла АВС.

Решение:

1. Пусть BL - биссектриса угла ABC.
2. Так как BC = BD, то треугольник BCD - равнобедренный, следовательно, углы при основании равны: \( \angle BCD = \angle BDC \).
3. \( \angle CBD \) - внешний угол треугольника ABC, следовательно, \( \angle CBD = \angle BAC + \angle BCA \).
4. \( BL \) - биссектриса угла ABC, следовательно, \( \angle ABL = \angle CBL \).
5. Треугольники BCD и CBL имеют общую сторону BC, \( BC = BD \) по условию.
6. Рассмотрим углы: \( \angle CBL = \frac{1}{2} \angle ABC \) и \( \angle BCD \).
7. Если прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC (BL), то углы \( \angle BCD \) и \( \angle CBL \) должны быть равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей BC. То есть, \( \angle BCD = \frac{1}{2} \angle ABC \) или \( 2 \angle BCD = \angle ABC \).
8. Так как \( \angle ABC = \angle BAC + \angle BCA \), а \( \angle BAC = \angle BCA \) (треугольник ABC - равнобедренный), то \( \angle ABC = 2 \angle BCA \).
9. Следовательно, \( \angle BCD = \angle BCA \), а значит, прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC.

Ответ: доказано, что прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC.