На рисунке 152 AB = AC, AP = PQ = QR = RB = BC. Найдите угол A.

Пусть $$\angle BCA = x$$. Так как $$RB = BC$$, то $$\triangle RBC$$ - равнобедренный, и $$\angle CRB = \angle BCR = x$$. Тогда $$\angle PQR = \angle CRB + \angle BCR = x + x = 2x$$ (как внешний угол $$\triangle RBC$$). Так как $$PQ = QR$$, то $$\triangle PQR$$ - равнобедренный, и $$\angle QPR = \angle QRP = 2x$$. Тогда $$\angle AQP = \angle PQR + \angle QPR = 2x + 2x = 4x$$ (как внешний угол $$\triangle PQR$$). Так как $$AP = PQ$$, то $$\triangle APQ$$ - равнобедренный, и $$\angle PAQ = \angle PQA = 4x$$. Тогда $$\angle ABC = \angle PAQ + \angle PQA = 4x + 4x = 8x$$ (как внешний угол $$\triangle APQ$$). Так как $$AB = AC$$, то $$\triangle ABC$$ - равнобедренный, и $$\angle ABC = \angle ACB = 8x$$. Но мы знаем, что $$\angle ACB = x$$. Следовательно, $$8x = x$$. Это невозможно. Должно быть $$\angle ABC = \angle ACB$$, то есть $$8x = x$$ неверно. У нас же было $$\angle BCA = x$$ и $$\angle ABC = 8x$$. Значит, $$\angle ABC = \angle ACB = 8x$$. Теперь рассмотрим сумму углов $$\triangle ABC$$: $$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ}$$. Мы знаем, что $$\angle BAC = 4x$$, $$\angle ABC = 8x$$, $$\angle ACB = 8x$$. Тогда $$4x + 8x + 8x = 180^{\circ}$$ $$20x = 180^{\circ}$$ $$x = \frac{180^{\circ}}{20} = 9^{\circ}$$ Тогда $$\angle A = 4x = 4 \cdot 9^{\circ} = 36^{\circ}$$. Ответ: Угол A равен 36 градусов.